Find the 2nd Derivative 5/(1+10e^(-4x))

$\frac{5}{1 + 10 e^{- 4 x}}$

Step 1

Find the first derivative.

Differentiate using the Constant Multiple Rule.

Since $5$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $\frac{5}{1 + 10 e^{- 4 x}}$ with respect to $x$ is $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 10 e^{- 4 x}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + 10 e^{- 4 x}})$

Rewrite $\frac{1}{1 + 10 e^{- 4 x}}$ as ${(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 1})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = x^{- 1}$ and $g (x) = 1 + 10 e^{- 4 x}$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{1}$ as $1 + 10 e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ is $n {u_{1}}^{n - 1}$ where $n = - 1$ .

$f' (x) = 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))$

Replace all occurrences of $u_{1}$ with $1 + 10 e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 5 (- {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))$

Differentiate.

Multiply $- 1$ by $5$ .

$f' (x) = - 5 ({(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))$

By the Sum Rule, the derivative of $1 + 10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}]$ .

$f' (x) = - 5 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x}))$

Since $1$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $1$ with respect to $x$ is $0$ .

$f' (x) = - 5 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x}))$

Add $0$ and $\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}]$ .

$f' (x) = - 5 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x})$

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f' (x) = - 5 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (10 \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}))$

Multiply $10$ by $- 5$ .

$f' (x) = - 50 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} e^{- 4 x}$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{2}$ as $- 4 x$ .

$f' (x) = - 50 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ is $a^{u_{2}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 50 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Replace all occurrences of $u_{2}$ with $- 4 x$ .

$f' (x) = - 50 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Differentiate.

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 50 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x))$

Multiply $- 4$ by $- 50$ .

$f' (x) = 200 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (e^{- 4 x} (\frac{d}{d x} (x)))$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f' (x) = 200 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} (e^{- 4 x} \cdot 1)$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $1$ .

$f' (x) = 200 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} e^{- 4 x}$

Simplify.

Reorder the factors of $200 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2} e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 200 e^{- 4 x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{- 2}$

Rewrite the expression using the negative exponent rule $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 200 e^{- 4 x} (\frac{1}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}})$

Multiply $200 e^{- 4 x} \frac{1}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}$ .

Combine $\frac{1}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}$ and $200$ .

$f' (x) = \frac{200}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}} \cdot e^{- 4 x}$

Combine $\frac{200}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}$ and $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = \frac{200 e^{- 4 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}$

Step 2

Find the second derivative.

Since $200$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $\frac{200 e^{- 4 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}$ with respect to $x$ is $200 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 4 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 200 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 4 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}})$

Differentiate using the Quotient Rule which states that $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ is $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ where $f (x) = e^{- 4 x}$ and $g (x) = {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{({(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2})}^{2}})$

Multiply the exponents in ${({(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2})}^{2}$ .

Apply the power rule and multiply exponents, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2 \cdot 2}})$

Multiply $2$ by $2$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{1}$ as $- 4 x$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 4 x)) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ is $a^{u_{1}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 4 x)) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Replace all occurrences of $u_{1}$ with $- 4 x$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate.

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Simplify the expression.

Multiply $- 4$ by $1$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} \cdot - 4 - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Move $- 4$ to the left of ${(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 \cdot ({(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x}) - e^{- 4 x} \frac{d}{d x} {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = x^{2}$ and $g (x) = 1 + 10 e^{- 4 x}$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{2}$ as $1 + 10 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - e^{- 4 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ is $n {u_{2}}^{n - 1}$ where $n = 2$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - e^{- 4 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Replace all occurrences of $u_{2}$ with $1 + 10 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - e^{- 4 x} (2 (1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate.

Multiply $2$ by $- 1$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (1 + 10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

By the Sum Rule, the derivative of $1 + 10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x})))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Since $1$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $1$ with respect to $x$ is $0$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (0 + \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x})))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Add $0$ and $\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (10 \frac{d}{d x} (e^{- 4 x})))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Simplify the expression.

Move $10$ to the left of $1 + 10 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} (10 \cdot (1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Multiply $10$ by $- 2$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{3}$ as $- 4 x$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 4 x)))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ is $a^{u_{3}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 4 x)))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Replace all occurrences of $u_{3}$ with $- 4 x$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 4 x - 4 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (- 4 x))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 8 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \frac{d}{d x} (- 4 x))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} - 20 e^{- 8 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (- 4 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Multiply $- 4$ by $- 20$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} ((1 + 10 e^{- 4 x}) \cdot 1)}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Combine fractions.

Multiply $1 + 10 e^{- 4 x}$ by $1$ .

$f'' (x) = 200 (\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} (1 + 10 e^{- 4 x})}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}})$

Combine $200$ and $\frac{- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} (1 + 10 e^{- 4 x})}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} (1 + 10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify.

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x} + 80 e^{- 8 x} \cdot 1 + 80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 {(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2} e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify the numerator.

Simplify each term.

Rewrite ${(1 + 10 e^{- 4 x})}^{2}$ as $(1 + 10 e^{- 4 x}) (1 + 10 e^{- 4 x})$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 ((1 + 10 e^{- 4 x}) (1 + 10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Expand $(1 + 10 e^{- 4 x}) (1 + 10 e^{- 4 x})$ using the FOIL Method.

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 (1 + 10 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (1 + 10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 \cdot 1 + 1 (10 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (1 + 10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 \cdot 1 + 1 (10 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} \cdot 1 + 10 e^{- 4 x} (10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify and combine like terms.

Simplify each term.

Multiply $1$ by $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 1 (10 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} \cdot 1 + 10 e^{- 4 x} (10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $10 e^{- 4 x}$ by $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} \cdot 1 + 10 e^{- 4 x} (10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $10$ by $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} (10 e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 10 \cdot (10 e^{- 4 x} e^{- 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 10 \cdot (10 (e^{- 4 x} e^{- 4 x}))) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 10 \cdot (10 e^{- 4 x - 4 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 10 \cdot (10 e^{- 8 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $10$ by $10$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 10 e^{- 4 x} + 10 e^{- 4 x} + 100 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Add $10 e^{- 4 x}$ and $10 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 (1 + 20 e^{- 4 x} + 100 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 ((- 4 \cdot 1 - 4 (20 e^{- 4 x}) - 4 (100 e^{- 8 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify.

Multiply $- 4$ by $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 ((- 4 - 4 (20 e^{- 4 x}) - 4 (100 e^{- 8 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $20$ by $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{200 ((- 4 - 80 e^{- 4 x} - 4 (100 e^{- 8 x})) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $100$ by $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{200 ((- 4 - 80 e^{- 4 x} - 400 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 4 x} e^{- 4 x} - 400 e^{- 8 x} e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify.

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 (e^{- 4 x} e^{- 4 x}) - 400 e^{- 8 x} e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 4 x - 4 x} - 400 e^{- 8 x} e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 8 x} - 400 e^{- 8 x} e^{- 4 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $e^{- 8 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 8 x} - 400 (e^{- 4 x} e^{- 8 x})) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 8 x} - 400 e^{- 4 x - 8 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Subtract $8 x$ from $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x} - 80 e^{- 8 x} - 400 e^{- 12 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Apply the distributive property.

$f'' (x) = \frac{200 (- 4 e^{- 4 x}) + 200 (- 80 e^{- 8 x}) + 200 (- 400 e^{- 12 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Simplify.

Multiply $- 4$ by $200$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} + 200 (- 80 e^{- 8 x}) + 200 (- 400 e^{- 12 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $- 80$ by $200$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} + 200 (- 400 e^{- 12 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $- 400$ by $200$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 200 (80 e^{- 8 x} \cdot 1) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $80$ by $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 200 (80 e^{- 8 x}) + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $80$ by $200$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 200 (80 e^{- 8 x} (10 e^{- 4 x}))}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $e^{- 8 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 200 (80 (e^{- 4 x} e^{- 8 x}) \cdot 10)}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 200 (80 e^{- 4 x - 8 x} \cdot 10)}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Subtract $8 x$ from $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 200 (80 e^{- 12 x} \cdot 10)}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $10$ by $80$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 200 (800 e^{- 12 x})}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Multiply $800$ by $200$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 160000 e^{- 12 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Combine the opposite terms in $- 800 e^{- 4 x} - 16000 e^{- 8 x} - 80000 e^{- 12 x} + 16000 e^{- 8 x} + 160000 e^{- 12 x}$ .

Add $- 16000 e^{- 8 x}$ and $16000 e^{- 8 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} + 0 - 80000 e^{- 12 x} + 160000 e^{- 12 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Add $- 800 e^{- 4 x}$ and $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} - 80000 e^{- 12 x} + 160000 e^{- 12 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Add $- 80000 e^{- 12 x}$ and $160000 e^{- 12 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 800 e^{- 4 x} + 80000 e^{- 12 x}}{{(1 + 10 e^{- 4 x})}^{4}}$

Reorder terms.

$f'' (x) = \frac{80000 e^{- 12 x} - 800 e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Simplify the numerator.

Factor $800$ out of $80000 e^{- 12 x} - 800 e^{- 4 x}$ .

Factor $800$ out of $80000 e^{- 12 x}$ .

$f'' (x) = \frac{800 (100 e^{- 12 x}) - 800 e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Factor $800$ out of $- 800 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = \frac{800 (100 e^{- 12 x}) + 800 (- e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Factor $800$ out of $800 (100 e^{- 12 x}) + 800 (- e^{- 4 x})$ .

$f'' (x) = \frac{800 (100 e^{- 12 x} - e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Rewrite $100 e^{- 12 x}$ as ${(10 e^{- 6 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{800 ({(10 e^{- 6 x})}^{2} - e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Rewrite $e^{- 4 x}$ as ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{800 ({(10 e^{- 6 x})}^{2} - {(e^{- 2 x})}^{2})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Since both terms are perfect squares, factor using the difference of squares formula, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ where $a = 10 e^{- 6 x}$ and $b = e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{800 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$

Step 3

Find the third derivative.

Since $800$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $\frac{800 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}$ with respect to $x$ is $800 \frac{d}{d x} [\frac{(10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}]$ .

$f''' (x) = 800 \frac{d}{d x} (\frac{(10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}})$

Differentiate using the Quotient Rule which states that $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ is $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ where $f (x) = (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})$ and $g (x) = {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4})}^{2}})$

Multiply the exponents in ${({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4})}^{2}$ .

Apply the power rule and multiply exponents, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Multiply $4$ by $2$ .

Differentiate using the Product Rule which states that $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ is $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ where $f (x) = 10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}$ and $g (x) = 10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate.

By the Sum Rule, the derivative of $10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [10 e^{- 6 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 6 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 6 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 6 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{1}$ as $- 6 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ is $a^{u_{1}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Replace all occurrences of $u_{1}$ with $- 6 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate.

Since $- 6$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 6 x$ with respect to $x$ is $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $- 6$ by $10$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $- 60$ by $1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- 2 x})) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- e^{- 2 x}$ with respect to $x$ is $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - \frac{d}{d x} e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 2 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{2}$ as $- 2 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 2 x))) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ is $a^{u_{2}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x))) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Replace all occurrences of $u_{2}$ with $- 2 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate.

Since $- 2$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 2 x$ with respect to $x$ is $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $- 2$ by $- 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x} \cdot 1) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $2$ by $1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

By the Sum Rule, the derivative of $10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [10 e^{- 6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 6 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 6 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 6 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{3}$ as $- 6 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ is $a^{u_{3}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Replace all occurrences of $u_{3}$ with $- 6 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate.

Since $- 6$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 6 x$ with respect to $x$ is $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $- 6$ by $10$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Multiply $- 60$ by $1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 2 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{4}$ as $- 2 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + \frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d x} (- 2 x))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ is $a^{u_{4}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + e^{u_{4}} \frac{d}{d x} (- 2 x))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Replace all occurrences of $u_{4}$ with $- 2 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate.

Since $- 2$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 2 x$ with respect to $x$ is $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Simplify the expression.

Multiply $- 2$ by $1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2)) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Move $- 2$ to the left of $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 \cdot e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = x^{4}$ and $g (x) = 10 e^{- 4 x} + 1$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{5}$ as $10 e^{- 4 x} + 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u (5)} ({u_{5}}^{4}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ is $n {u_{5}}^{n - 1}$ where $n = 4$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Replace all occurrences of $u_{5}$ with $10 e^{- 4 x} + 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (4 {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Simplify with factoring out.

Multiply $4$ by $- 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1])$ .

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3}$ out of $- 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1])$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} (- 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1)))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} (- 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1]))$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3} ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1)))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}})$

Cancel the common factors.

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{3}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{8}$ .

Cancel the common factor.

Rewrite the expression.

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate.

By the Sum Rule, the derivative of $10 e^{- 4 x} + 1$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{6}$ as $- 4 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (\frac{d}{d u (6)} (e^{u_{6}}) \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ is $a^{u_{6}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Replace all occurrences of $u_{6}$ with $- 4 x$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate.

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (10 e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Multiply $- 4$ by $10$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 40 e^{- 4 x} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 40 e^{- 4 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Multiply $- 40$ by $1$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) - 4 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 40 e^{- 4 x} + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Since $1$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $1$ with respect to $x$ is $0$ .

Combine fractions.

Add $- 40 e^{- 4 x}$ and $0$ .

Multiply $- 40$ by $- 4$ .

$f''' (x) = 800 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) + 160 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Combine $800$ and $\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) + 160 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) + 160 (10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify.

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})) + (160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) ((10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify the numerator.

Simplify each term.

Expand $(10 e^{- 6 x} + e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x})$ using the FOIL Method.

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x} + 2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify and combine like terms.

Simplify each term.

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 \cdot (- 60 e^{- 6 x} e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 \cdot (- 60 (e^{- 6 x} e^{- 6 x})) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 \cdot (- 60 e^{- 6 x - 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (10 \cdot (- 60 e^{- 12 x}) + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $- 60$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 10 e^{- 6 x} (2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (2 e^{- 6 x} e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (2 (e^{- 2 x} e^{- 6 x})) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (2 e^{- 2 x - 6 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (2 e^{- 8 x}) + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $2$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} + e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 2 x} e^{- 6 x} + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 (e^{- 6 x} e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 6 x - 2 x} + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 8 x} + e^{- 2 x} (2 e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 8 x} + 2 e^{- 2 x} e^{- 2 x} + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 8 x} + 2 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 8 x} + 2 e^{- 2 x - 2 x} + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 20 e^{- 8 x} - 60 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $60 e^{- 8 x}$ from $20 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Expand $(10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x})$ using the FOIL Method.

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x} - 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 e^{- 6 x} (- 60 e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify and combine like terms.

Simplify each term.

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 \cdot (- 60 e^{- 6 x} e^{- 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 \cdot (- 60 (e^{- 6 x} e^{- 6 x})) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 \cdot (- 60 e^{- 6 x - 6 x}) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} + 10 \cdot (- 60 e^{- 12 x}) + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $- 60$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 10 e^{- 6 x} (- 2 e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (- 2 e^{- 6 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (- 2 (e^{- 2 x} e^{- 6 x})) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (- 2 e^{- 2 x - 6 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 10 \cdot (- 2 e^{- 8 x}) - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $- 2$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} - e^{- 2 x} (- 60 e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 60 e^{- 2 x} e^{- 6 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 60 (e^{- 6 x} e^{- 2 x})) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 60 e^{- 6 x - 2 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 60 e^{- 8 x}) - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 1$ by $- 60$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} - e^{- 2 x} (- 2 e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 2 e^{- 2 x} e^{- 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 2 (e^{- 2 x} e^{- 2 x})))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} - 1 \cdot (- 2 e^{- 4 x}))) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 1$ by $- 2$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} - 20 e^{- 8 x} + 60 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $- 20 e^{- 8 x}$ and $60 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Combine the opposite terms in $- 600 e^{- 12 x} - 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 40 e^{- 8 x} + 2 e^{- 4 x}$ .

Add $- 40 e^{- 8 x}$ and $40 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 0 + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 2 e^{- 4 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $- 600 e^{- 12 x}$ and $0$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 600 e^{- 12 x} + 2 e^{- 4 x} - 600 e^{- 12 x} + 2 e^{- 4 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $600 e^{- 12 x}$ from $- 600 e^{- 12 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (2 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x} + 2 e^{- 4 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $2 e^{- 4 x}$ and $2 e^{- 4 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 ((10 e^{- 4 x} + 1) (4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Expand $(10 e^{- 4 x} + 1) (4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x})$ using the FOIL Method.

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 (10 e^{- 4 x} (4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 (10 e^{- 4 x} (4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 (10 e^{- 4 x} (4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify each term.

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 (10 \cdot (4 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 (10 \cdot (4 (e^{- 4 x} e^{- 4 x})) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 (10 \cdot (4 e^{- 4 x - 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 (10 \cdot (4 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $4$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} + 10 e^{- 4 x} (- 1200 e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (- 1200 e^{- 4 x} e^{- 12 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 12 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 12 x}$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (- 1200 (e^{- 12 x} e^{- 4 x})) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (- 1200 e^{- 12 x - 4 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $4 x$ from $- 12 x$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (- 1200 e^{- 16 x}) + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $- 1200$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} - 12000 e^{- 16 x} + 1 (4 e^{- 4 x}) + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $4 e^{- 4 x}$ by $1$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} - 12000 e^{- 16 x} + 4 e^{- 4 x} + 1 (- 1200 e^{- 12 x})) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 1200 e^{- 12 x}$ by $1$ .

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x} - 12000 e^{- 16 x} + 4 e^{- 4 x} - 1200 e^{- 12 x}) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{800 (40 e^{- 8 x}) + 800 (- 12000 e^{- 16 x}) + 800 (4 e^{- 4 x}) + 800 (- 1200 e^{- 12 x}) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify.

Multiply $40$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} + 800 (- 12000 e^{- 16 x}) + 800 (4 e^{- 4 x}) + 800 (- 1200 e^{- 12 x}) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 12000$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 800 (4 e^{- 4 x}) + 800 (- 1200 e^{- 12 x}) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $4$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} + 800 (- 1200 e^{- 12 x}) + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 1200$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((160 (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $10$ by $160$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 e^{- 6 x} + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Expand $(1600 e^{- 6 x} + 160 e^{- 2 x}) (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})$ using the FOIL Method.

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 e^{- 6 x} (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 e^{- 6 x} (10 e^{- 6 x}) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x} - e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 e^{- 6 x} (10 e^{- 6 x}) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Simplify and combine like terms.

Simplify each term.

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 \cdot (10 e^{- 6 x} e^{- 6 x}) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 \cdot (10 (e^{- 6 x} e^{- 6 x})) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 \cdot (10 e^{- 6 x - 6 x}) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((1600 \cdot (10 e^{- 12 x}) + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $1600$ by $10$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 1600 e^{- 6 x} (- e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 1600 \cdot (- 1 e^{- 6 x} e^{- 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 6 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 1600 \cdot (- 1 (e^{- 2 x} e^{- 6 x})) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 1600 \cdot (- 1 e^{- 2 x - 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $6 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 1600 \cdot (- 1 e^{- 8 x}) + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $1600$ by $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 160 e^{- 2 x} (10 e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (10 e^{- 2 x} e^{- 6 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 6 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 6 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (10 (e^{- 6 x} e^{- 2 x})) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (10 e^{- 6 x - 2 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (10 e^{- 8 x}) + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $160$ by $10$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} + 160 e^{- 2 x} (- e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (- 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 2 x}$ by $e^{- 2 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 2 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (- 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}))) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (- 1 e^{- 2 x - 2 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $2 x$ from $- 2 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} + 160 \cdot (- 1 e^{- 4 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $160$ by $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 1600 e^{- 8 x} + 1600 e^{- 8 x} - 160 e^{- 4 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $- 1600 e^{- 8 x}$ and $1600 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} + 0 - 160 e^{- 4 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $16000 e^{- 12 x}$ and $0$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 ((16000 e^{- 12 x} - 160 e^{- 4 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 12 x} e^{- 4 x} - 160 e^{- 4 x} e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 12 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 (e^{- 4 x} e^{- 12 x}) - 160 e^{- 4 x} e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 4 x - 12 x} - 160 e^{- 4 x} e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $12 x$ from $- 4 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 16 x} - 160 e^{- 4 x} e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 16 x} - 160 (e^{- 4 x} e^{- 4 x}))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 16 x} - 160 e^{- 4 x - 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 16 x} - 160 e^{- 8 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Apply the distributive property.

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 800 (16000 e^{- 16 x}) + 800 (- 160 e^{- 8 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $16000$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 12800000 e^{- 16 x} + 800 (- 160 e^{- 8 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Multiply $- 160$ by $800$ .

$f''' (x) = \frac{32000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 12800000 e^{- 16 x} - 128000 e^{- 8 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Subtract $128000 e^{- 8 x}$ from $32000 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{- 96000 e^{- 8 x} - 9600000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x} + 12800000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Add $- 9600000 e^{- 16 x}$ and $12800000 e^{- 16 x}$ .

$f''' (x) = \frac{- 96000 e^{- 8 x} + 3200000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 960000 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Reorder terms.

$f''' (x) = \frac{3200000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 96000 e^{- 8 x} - 960000 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $3200000 e^{- 16 x} + 3200 e^{- 4 x} - 96000 e^{- 8 x} - 960000 e^{- 12 x}$ .

Factor $3200$ out of $3200000 e^{- 16 x}$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x}) + 3200 e^{- 4 x} - 96000 e^{- 8 x} - 960000 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $3200 e^{- 4 x}$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x}) + 3200 (e^{- 4 x}) - 96000 e^{- 8 x} - 960000 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $- 96000 e^{- 8 x}$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x}) + 3200 (e^{- 4 x}) + 3200 (- 30 e^{- 8 x}) - 960000 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $- 960000 e^{- 12 x}$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x}) + 3200 (e^{- 4 x}) + 3200 (- 30 e^{- 8 x}) + 3200 (- 300 e^{- 12 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $3200 (1000 e^{- 16 x}) + 3200 (e^{- 4 x})$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x}) + 3200 (- 30 e^{- 8 x}) + 3200 (- 300 e^{- 12 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x}) + 3200 (- 30 e^{- 8 x})$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x}) + 3200 (- 300 e^{- 12 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Factor $3200$ out of $3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x}) + 3200 (- 300 e^{- 12 x})$ .

$f''' (x) = \frac{3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$

Step 4

Find the fourth derivative.

Since $3200$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $\frac{3200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}$ with respect to $x$ is $3200 \frac{d}{d x} [\frac{1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 \frac{d}{d x} (\frac{1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}})$

Differentiate using the Quotient Rule which states that $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ is $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ where $f (x) = 1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}$ and $g (x) = {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5})}^{2}})$

Differentiate.

Multiply the exponents in ${({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5})}^{2}$ .

Apply the power rule and multiply exponents, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Multiply $5$ by $2$ .

By the Sum Rule, the derivative of $1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [1000 e^{- 16 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}] + \frac{d}{d x} [- 30 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 300 e^{- 12 x}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (1000 e^{- 16 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Since $1000$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $1000 e^{- 16 x}$ with respect to $x$ is $1000 \frac{d}{d x} [e^{- 16 x}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (1000 \frac{d}{d x} (e^{- 16 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 16 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{1}$ as $- 16 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (1000 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 16 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ is $a^{u_{1}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (1000 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 16 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Replace all occurrences of $u_{1}$ with $- 16 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (1000 (e^{- 16 x} \frac{d}{d x} (- 16 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate.

Since $- 16$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 16 x$ with respect to $x$ is $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (1000 e^{- 16 x} (- 16 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $- 16$ by $1000$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $- 16000$ by $1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{2}$ as $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ is $a^{u_{2}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Replace all occurrences of $u_{2}$ with $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate.

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Simplify the expression.

Multiply $- 4$ by $1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} \cdot - 4 + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Move $- 4$ to the left of $e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 \cdot e^{- 4 x} + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Since $- 30$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 30 e^{- 8 x}$ with respect to $x$ is $- 30 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} - 30 \frac{d}{d x} e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 8 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{3}$ as $- 8 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} - 30 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ is $a^{u_{3}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} - 30 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Replace all occurrences of $u_{3}$ with $- 8 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} - 30 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate.

Since $- 8$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 8 x$ with respect to $x$ is $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $- 8$ by $- 30$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $240$ by $1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 300 e^{- 12 x})) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Since $- 300$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 300 e^{- 12 x}$ with respect to $x$ is $- 300 \frac{d}{d x} [e^{- 12 x}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} - 300 \frac{d}{d x} e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 12 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{4}$ as $- 12 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} - 300 (\frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d x} (- 12 x))) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ is $a^{u_{4}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} - 300 (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} (- 12 x))) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Replace all occurrences of $u_{4}$ with $- 12 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} - 300 (e^{- 12 x} \frac{d}{d x} (- 12 x))) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate.

Since $- 12$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 12 x$ with respect to $x$ is $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x} (- 12 \frac{d}{d x} x)) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $- 12$ by $- 300$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x} \frac{d}{d x} (x)) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x} \cdot 1) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Multiply $3600$ by $1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) \frac{d}{d x} {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = x^{5}$ and $g (x) = 10 e^{- 4 x} + 1$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{5}$ as $10 e^{- 4 x} + 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (\frac{d}{d u (5)} ({u_{5}}^{5}) \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ is $n {u_{5}}^{n - 1}$ where $n = 5$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (5 {u_{5}}^{4} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Replace all occurrences of $u_{5}$ with $10 e^{- 4 x} + 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (5 {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Simplify with factoring out.

Multiply $5$ by $- 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1])$ .

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{5} (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ out of $- 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) ({(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1])$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})) + {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} (- 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1)))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})) + {(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} (- 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x} + 1]))$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4} ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1)))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}})$

Cancel the common factors.

Factor ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{4}$ out of ${(10 e^{- 4 x} + 1)}^{10}$ .

Cancel the common factor.

Rewrite the expression.

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (\frac{d}{d x} (10 e^{- 4 x} + 1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Differentiate.

By the Sum Rule, the derivative of $10 e^{- 4 x} + 1$ with respect to $x$ is $\frac{d}{d x} [10 e^{- 4 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

Since $10$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $10 e^{- 4 x}$ with respect to $x$ is $10 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (10 \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Differentiate using the chain rule, which states that $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ is $f' (g (x)) g' (x)$ where $f (x) = e^{x}$ and $g (x) = - 4 x$ .

To apply the Chain Rule, set $u_{6}$ as $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (10 (\frac{d}{d u (6)} (e^{u_{6}}) \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Differentiate using the Exponential Rule which states that $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ is $a^{u_{6}} \ln (a)$ where $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (10 (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Replace all occurrences of $u_{6}$ with $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (10 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Differentiate.

Since $- 4$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $- 4 x$ with respect to $x$ is $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (10 e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Multiply $- 4$ by $10$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (- 40 e^{- 4 x} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Differentiate using the Power Rule which states that $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ is $n x^{n - 1}$ where $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (- 40 e^{- 4 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Multiply $- 40$ by $1$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (- 40 e^{- 4 x} + \frac{d}{d x} (1))}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Since $1$ is constant with respect to $x$ , the derivative of $1$ with respect to $x$ is $0$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (- 40 e^{- 4 x} + 0)}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Combine fractions.

Add $- 40 e^{- 4 x}$ and $0$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) - 5 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) (- 40 e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Multiply $- 40$ by $- 5$ .

$f^{4} (x) = 3200 (\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}})$

Combine $3200$ and $\frac{(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 200 (1000 e^{- 16 x} + e^{- 4 x} - 30 e^{- 8 x} - 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Simplify.

Apply the distributive property.

$f^{4} (x) = \frac{3200 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + (200 (1000 e^{- 16 x}) + 200 e^{- 4 x} + 200 (- 30 e^{- 8 x}) + 200 (- 300 e^{- 12 x})) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Apply the distributive property.

$f^{4} (x) = \frac{3200 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x} + 200 e^{- 4 x} e^{- 4 x} + 200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x} + 200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Apply the distributive property.

$f^{4} (x) = \frac{3200 ((10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Simplify the numerator.

Simplify each term.

Expand $(10 e^{- 4 x} + 1) (- 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x})$ by multiplying each term in the first expression by each term in the second expression.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (10 e^{- 4 x} (- 16000 e^{- 16 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Simplify each term.

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (10 \cdot (- 16000 e^{- 4 x} e^{- 16 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 16 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 16 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (10 \cdot (- 16000 (e^{- 16 x} e^{- 4 x})) + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (10 \cdot (- 16000 e^{- 16 x - 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $4 x$ from $- 16 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (10 \cdot (- 16000 e^{- 20 x}) + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $10$ by $- 16000$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 10 e^{- 4 x} (- 4 e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 10 \cdot (- 4 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 10 \cdot (- 4 (e^{- 4 x} e^{- 4 x})) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 10 \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 10 \cdot (- 4 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $10$ by $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 10 e^{- 4 x} (240 e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (240 e^{- 4 x} e^{- 8 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 8 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 8 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (240 (e^{- 8 x} e^{- 4 x})) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (240 e^{- 8 x - 4 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $4 x$ from $- 8 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 10 \cdot (240 e^{- 12 x}) + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $10$ by $240$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 10 e^{- 4 x} (3600 e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 10 \cdot (3600 e^{- 4 x} e^{- 12 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 12 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 12 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 10 \cdot (3600 (e^{- 12 x} e^{- 4 x})) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 10 \cdot (3600 e^{- 12 x - 4 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $4 x$ from $- 12 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 10 \cdot (3600 e^{- 16 x}) + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $10$ by $3600$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} + 1 (- 16000 e^{- 16 x}) + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $- 16000 e^{- 16 x}$ by $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} + 1 (- 4 e^{- 4 x}) + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $- 4 e^{- 4 x}$ by $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 1 (240 e^{- 8 x}) + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $240 e^{- 8 x}$ by $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 1 (3600 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $3600 e^{- 12 x}$ by $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} - 40 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 240 e^{- 8 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Add $- 40 e^{- 8 x}$ and $240 e^{- 8 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 200 e^{- 8 x} + 2400 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x} + 3600 e^{- 12 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Add $2400 e^{- 12 x}$ and $3600 e^{- 12 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 200 e^{- 8 x} + 6000 e^{- 12 x} + 36000 e^{- 16 x} - 16000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $16000 e^{- 16 x}$ from $36000 e^{- 16 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x} + 200 e^{- 8 x} + 6000 e^{- 12 x} + 20000 e^{- 16 x} - 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Apply the distributive property.

$f^{4} (x) = \frac{3200 (- 160000 e^{- 20 x}) + 3200 (200 e^{- 8 x}) + 3200 (6000 e^{- 12 x}) + 3200 (20000 e^{- 16 x}) + 3200 (- 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Simplify.

Multiply $- 160000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 3200 (200 e^{- 8 x}) + 3200 (6000 e^{- 12 x}) + 3200 (20000 e^{- 16 x}) + 3200 (- 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $200$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (6000 e^{- 12 x}) + 3200 (20000 e^{- 16 x}) + 3200 (- 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $6000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 3200 (20000 e^{- 16 x}) + 3200 (- 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $20000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} + 3200 (- 4 e^{- 4 x}) + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $- 4$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 3200 (200 (1000 e^{- 16 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 16 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 3200 (200 (1000 (e^{- 4 x} e^{- 16 x}))) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 3200 (200 (1000 e^{- 4 x - 16 x})) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $16 x$ from $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 3200 (200 (1000 e^{- 20 x})) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $1000$ by $200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 3200 (200000 e^{- 20 x}) + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $200000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 3200 (200 e^{- 4 x} e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 4 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 3200 (200 (e^{- 4 x} e^{- 4 x})) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 3200 (200 e^{- 4 x - 4 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $4 x$ from $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 3200 (200 e^{- 8 x}) + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $200$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (200 (- 30 e^{- 8 x}) e^{- 4 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 8 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (200 (- 30 (e^{- 4 x} e^{- 8 x}))) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (200 (- 30 e^{- 4 x - 8 x})) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $8 x$ from $- 4 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (200 (- 30 e^{- 12 x})) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $- 30$ by $200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 3200 (- 6000 e^{- 12 x}) + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $- 6000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} - 19200000 e^{- 12 x} + 3200 (200 (- 300 e^{- 12 x}) e^{- 4 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Multiply $e^{- 12 x}$ by $e^{- 4 x}$ by adding the exponents.

Move $e^{- 4 x}$ .

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

Subtract $12 x$ from $- 4 x$ .

Multiply $- 300$ by $200$ .

Multiply $- 60000$ by $3200$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} - 19200000 e^{- 12 x} - 192000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Combine the opposite terms in $- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 19200000 e^{- 12 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} - 19200000 e^{- 12 x} - 192000000 e^{- 16 x}$ .

Subtract $19200000 e^{- 12 x}$ from $19200000 e^{- 12 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 0 - 192000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Add $- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x}$ and $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 512000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} - 192000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Add $- 512000000 e^{- 20 x}$ and $640000000 e^{- 20 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{128000000 e^{- 20 x} + 640000 e^{- 8 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} + 640000 e^{- 8 x} - 192000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Add $640000 e^{- 8 x}$ and $640000 e^{- 8 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{128000000 e^{- 20 x} + 1280000 e^{- 8 x} + 64000000 e^{- 16 x} - 12800 e^{- 4 x} - 192000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Subtract $192000000 e^{- 16 x}$ from $64000000 e^{- 16 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{128000000 e^{- 20 x} + 1280000 e^{- 8 x} - 12800 e^{- 4 x} - 128000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $128000000 e^{- 20 x} + 1280000 e^{- 8 x} - 12800 e^{- 4 x} - 128000000 e^{- 16 x}$ .

Factor $12800$ out of $128000000 e^{- 20 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x}) + 1280000 e^{- 8 x} - 12800 e^{- 4 x} - 128000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $1280000 e^{- 8 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x}) + 12800 (100 e^{- 8 x}) - 12800 e^{- 4 x} - 128000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $- 12800 e^{- 4 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x}) + 12800 (100 e^{- 8 x}) + 12800 (- e^{- 4 x}) - 128000000 e^{- 16 x}}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $- 128000000 e^{- 16 x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x}) + 12800 (100 e^{- 8 x}) + 12800 (- e^{- 4 x}) + 12800 (- 10000 e^{- 16 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $12800 (10000 e^{- 20 x}) + 12800 (100 e^{- 8 x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x} + 100 e^{- 8 x}) + 12800 (- e^{- 4 x}) + 12800 (- 10000 e^{- 16 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $12800 (10000 e^{- 20 x} + 100 e^{- 8 x}) + 12800 (- e^{- 4 x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x} + 100 e^{- 8 x} - e^{- 4 x}) + 12800 (- 10000 e^{- 16 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Factor $12800$ out of $12800 (10000 e^{- 20 x} + 100 e^{- 8 x} - e^{- 4 x}) + 12800 (- 10000 e^{- 16 x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12800 (10000 e^{- 20 x} + 100 e^{- 8 x} - e^{- 4 x} - 10000 e^{- 16 x})}{{(10 e^{- 4 x} + 1)}^{6}}$

Find the 2nd Derivative 5/(1+10e^(-4x))

Related Questions

Support LCMGCF.com by disabling your adblocker.