Solve by Factoring 6/z-9/(z-2)=1/7

$\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} = \frac{1}{7}$

Step 1

Subtract $\frac{1}{7}$ from both sides of the equation.

$\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Step 2

Simplify $\frac{6}{z} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7}$ .

Find the common denominator.

Multiply $\frac{6}{z}$ by $\frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7}$ .

$\frac{6}{z} \cdot \frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Multiply $\frac{6}{z}$ by $\frac{(z - 2) \cdot 7}{(z - 2) \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9}{z - 2} - \frac{1}{7} = 0$

Multiply $\frac{9}{z - 2}$ by $\frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - (\frac{9}{z - 2} \cdot \frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}) - \frac{1}{7} = 0$

Multiply $\frac{9}{z - 2}$ by $\frac{z \cdot 7}{z \cdot 7}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{1}{7} = 0$

Multiply $\frac{1}{7}$ by $\frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - (\frac{1}{7} \cdot \frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}) = 0$

Multiply $\frac{1}{7}$ by $\frac{z (z - 2)}{z (z - 2)}$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{z ((z - 2) \cdot 7)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Reorder the factors of $z ((z - 2) \cdot 7)$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{(z - 2) (z \cdot 7)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Reorder the factors of $(z - 2) (z \cdot 7)$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{z (z - 2)}{7 (z (z - 2))} = 0$

Reorder the factors of $7 (z (z - 2))$ .

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{9 (z \cdot 7)}{7 z (z - 2)} - \frac{z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{6 ((z - 2) \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Simplify each term.

Apply the distributive property.

$\frac{6 (z \cdot 7 - 2 \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Move $7$ to the left of $z$ .

$\frac{6 (7 \cdot z - 2 \cdot 7) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $- 2$ by $7$ .

$\frac{6 (7 \cdot z - 14) - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Apply the distributive property.

$\frac{6 (7 z) + 6 \cdot - 14 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $7$ by $6$ .

$\frac{42 z + 6 \cdot - 14 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $6$ by $- 14$ .

$\frac{42 z - 84 - 9 (z \cdot 7) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Move $7$ to the left of $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 9 (7 \cdot z) - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $7$ by $- 9$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z (z - 2)}{7 z (z - 2)} = 0$

Apply the distributive property.

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z \cdot z - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Move $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - (z \cdot z) - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z^{2} - z \cdot - 2}{7 z (z - 2)} = 0$

Multiply $- 2$ by $- 1$ .

$\frac{42 z - 84 - 63 z - z^{2} + 2 z}{7 z (z - 2)} = 0$

Subtract $63 z$ from $42 z$ .

$\frac{- 21 z - 84 - z^{2} + 2 z}{7 z (z - 2)} = 0$

Add $- 21 z$ and $2 z$ .

$\frac{- 19 z - 84 - z^{2}}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor by grouping.

Reorder terms.

$\frac{- z^{2} - 19 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

For a polynomial of the form $a x^{2} + b x + c$ , rewrite the middle term as a sum of two terms whose product is $a \cdot c = - 1 \cdot - 84 = 84$ and whose sum is $b = - 19$ .

Factor $- 19$ out of $- 19 z$ .

$\frac{- z^{2} - 19 (z) - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Rewrite $- 19$ as $- 7$ plus $- 12$

$\frac{- z^{2} + (- 7 - 12) z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Apply the distributive property.

$\frac{- z^{2} - 7 z - 12 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor out the greatest common factor from each group.

Group the first two terms and the last two terms.

$\frac{(- z^{2} - 7 z) - 12 z - 84}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor out the greatest common factor (GCF) from each group.

$\frac{z (- z - 7) + 12 (- z - 7)}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor the polynomial by factoring out the greatest common factor, $- z - 7$ .

$\frac{(- z - 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor $- 1$ out of $- z$ .

$\frac{(- (z) - 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Rewrite $- 7$ as $- 1 (7)$ .

$\frac{(- (z) - 1 (7)) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Factor $- 1$ out of $- (z) - 1 (7)$ .

$\frac{- (z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Rewrite $- (z + 7)$ as $- 1 (z + 7)$ .

$\frac{- 1 (z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Move the negative in front of the fraction.

$- \frac{(z + 7) (z + 12)}{7 z (z - 2)} = 0$

Step 3

Set the numerator equal to zero.

$(z + 7) (z + 12) = 0$

Step 4

Solve the equation for $z$ .

If any individual factor on the left side of the equation is equal to $0$ , the entire expression will be equal to $0$ .

$z + 7 = 0$

$z + 12 = 0$

Set $z + 7$ equal to $0$ and solve for $z$ .

Set $z + 7$ equal to $0$ .

$z + 7 = 0$

Subtract $7$ from both sides of the equation.

$z = - 7$

Set $z + 12$ equal to $0$ and solve for $z$ .

Set $z + 12$ equal to $0$ .

$z + 12 = 0$

Subtract $12$ from both sides of the equation.

$z = - 12$

The final solution is all the values that make $(z + 7) (z + 12) = 0$ true.

$z = - 7, - 12$

Solve by Factoring 6/z-9/(z-2)=1/7

Related Questions

Support LCMGCF.com by disabling your adblocker.